2003年全国硕士研究生入学统考数学(1)试题及答案

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一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）  = .

【分析】 型未定式，化为指数函数或利用公式 = 进行计算求极限均可.

【详解1】 = ,

而  ，

故 原式=

【详解2】 因为    ，

所以    原式=

（2） 曲面 与平面 平行的切平面的方程是 .

【分析】 待求平面的法矢量为 ，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面 切平面的法矢量与 平行确定.

【详解】 令 ，则

， ， .

设切点坐标为 ，则切平面的法矢量为 ，其与已知平面 平行，因此有

        ，

可解得   ，相应地有  

故所求的切平面方程为

    ，即 .

（3） 设 ，则 =     1      .

【分析】 将 展开为余弦级数 ，其系数计算公式为 .

【详解】 根据余弦级数的定义，有

            =

            =

            =1.

（4）从 的基 到基 的过渡矩阵为    .

【分析】 n维向量空间中，从基 到基 的过渡矩阵P满足

[ ]=[ ]P，因此过渡矩阵P为：P=[ [ .

【详解】根据定义，从 的基 到基 的过渡矩阵为

P=[ [ .

 =

（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

则  .

【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率